Математика в школах України

1. Английский математик Абрахам де Муавр в престарелом возрасте однажды обнаружил, что продолжительность его сна растёт на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов — 27 ноября 1754 года. В этот день он и умер.

3. Подлинность купюры евро можно проверить по её серийному номеру буквы и одиннадцати цифр. Нужно заменить букву на её порядковый номер в английском алфавите, сложить это число с остальными, затем складывать цифры результата, пока не получим одну цифру. Если эта цифра — 8, то купюра подлинная. Ещё один способ проверки заключается в подобном складывании цифр, но без буквы. Результат из одной буквы и цифры должен соответствовать определённой стране, так как евро печатают в разных странах. Например, для Германии это X2.

5. Треугольник Рело — это геометрическая фигура, образованная пересечением трёх равных кругов радиуса a с центрами в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Сверло, сделанное на основе треугольника Рело, позволяет сверлитить квадратные отверстия (с неточностью в 2%).

6. В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.
7. Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.
8. Сумма всех чисел на рулетке в казино равняется «числу зверя» — 666.
9. Софья Ковалевская познакомилась с математикой в раннем детстве, когда на её комнату не хватило обоев, вместо которых были наклеены листы с лекциями Остроградского о дифференциальном и интегральном исчислении.
10. В штате Индиана в 1897 году был выпущен билль, законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора университета.

Истории о научных озарениях.

Janta — Sat, 20 Sep 2014 08:57:03 GMT

Истории о научных озарениях. Необычные и невозможные факты геометрии

http://gnedenko-forum.org/library/Ushakov/03-geometriya_rus.pdf

Ёлка

Angelina — Tue, 07 Dec 2010 16:37:48 GMT

Конусы склеиваем вместе в форме пирамидки или вырезаем снежинки и нанизываем их одну на одну в форме пирамидки - получам ёлку.

Золотий переріз (золотое сечение)

Angelina — Thu, 28 Oct 2010 13:36:01 GMT

Людина розрізняє навколишні його предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать комбінація симетрії й золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю й появі відчуття краси й гармонії. Ціле завжди складається із частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні друг до друга й до цілого. Принцип золотого перетину – вищий прояв структурної й функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніку й природі.

Золотий перетин – гармонійна пропорція

У математику пропорцією (лат. proportio) називають рівність двох відносин: a : b = c : d.
Відрізок прямій АВ можна розділити на дві частини такими способами:
• на дві рівні частини – АВ : АС = АВ : ВС;
• на дві нерівні частини в будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють);
• таким чином, коли АВ : АС = АС : ВС.
Останнє і є золотий розподіл або розподіл відрізка в крайньому й середньому відношенні.
Золотий перетин – цей такий пропорційний розподіл відрізка на нерівні частини, при якім увесь відрізок так ставиться до більшої частини, як сама більша частина ставиться до меншої; або інакше кажучи, менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього

a : b = b : c або с : b = b : а.

Рис. 1. Геометричне зображення золотої пропорції
Практичне знайомство із золотим перетином починають із розподілу відрізка прямій у золотої пропорції за допомогою циркуля й лінійки.

Рис. 2. Розподіл відрізка прямій по золотому перетину. BC = 1/2 AB; CD = BC

З точки В восставляется перпендикуляр, дорівнює половині АВ. Отримана точка С з´ єднується лінією із точкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок ВС, що закінчується точкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Е ділить відрізок АВ у співвідношенні золотої пропорції.
Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом AE = 0,618..., якщо АВ прийняти за одиницю, ВЕ = 0,382... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. Якщо відрізок АВ прийняти за 100 частин, то більша частина відрізка рівна 62, а менша – 38 частинам.

Властивості золотого перетину описуються рівнянням:
x2 – x – 1 = 0.
                                                                    Рішення цього рівняння:

Властивості золотого перетину створили навколо цього числа романтичний ореол таємничості й ледве чи не містичного поклоніння.

                         Другий золотий перетин

Болгарський журнал "Батьківщина" (№10, 1983 р.) опублікував статтю Цветана Цекова- Олівця "ПРО другий золотий перетин", яке випливає з основного перетину й дає інше відношення 44:56 .
Така пропорція виявлена в архітектурі, а також має місце при побудові композицій зображень подовженого горизонтального формату.

Рис. 3. Побудова другого золотого перетину

Розподіл здійснюється в такий спосіб. Відрізок АВ ділиться в пропорції золотого перетину. Із крапки С проводиться перпендикуляр СD. Радіусом АВ перебуває крапка D, яка з´ єднується лінією із крапкою А. Прямий кут АСD ділиться навпіл. Із крапки С проводиться лінія до перетинання з лінією AD. Крапка Е ділить відрізок AD у відношенні 56:44.


                                                              Рис. 4. Розподіл прямокутника лінією другого золотого перетину

На малюнку показане положення лінії другого золотого перетину. Вона перебуває посередині між лінією золотого перетину й середньою лінією прямокутника.



                                  Золотий трикутник

Для знаходження відрізків золотої пропорції висхідного й спадного рядів можна користуватися пентаграмою.

                          Рис. 5. Побудова правильного п´ ятикутника й пентаграми

Для побудови пентаграми необхідно побудувати правильний п´ ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець і графік Альбрехт Дюрер (1471...1528). Нехай O – центр окружності, A – крапка на окружності й Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіуса ОА, вставлений у крапці О, перетинається з окружністю в крапці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в окружність правильного п´ ятикутника рівна DC. Відкладаємо на окружності відрізки DC і одержимо п´ ять крапок для накреслення правильного п´ ятикутника. З´ єднуємо кути п´ ятикутника через один діагоналями й одержуємо пентаграмою. Усі діагоналі п´ ятикутника ділять один одного на відрізки, зв´ язані між собою золотою пропорцією.

Кожний кінець п’яти кутової зірки являє собою золотий трикутник. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а підстава, відкладене на бічну сторону, ділить її в пропорції золотого перетину.

Рис. 6. Побудова золотого трикутника

Проводимо пряму АВ. Від крапки А відкладаємо на ній три рази відрізок О довільної величини, ерез отриману крапку Р проводимо перпендикуляр до лінії АВ, на перпендикулярі вправо й уліво від крапки Р відкладаємо відрізки О. Отримані крапки d і d1 з´ єднуємо прямими із крапкою А. Відрізок dd1 відкладаємо на лінію Ad1, одержуючи крапку С. Вона розділила лінію Ad1 у пропорції золотого перетину. Лініями Ad1 і dd1 користуються для побудови "золотого" прямокутника.

                         Історія золотого перетину

Прийнято вважати, що поняття про золотий розподіл увів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ і математик (VI в. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого розподілу запозичив у єгиптян і вавилонян. І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту й прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їхньому створенні. Французький архітектор Ле Корбюзье знайшов, що в рельєфі із храму фараона Мережі I в Абидосе й у рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого розподілу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев´ яної дошки із гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовані пропорції золотого розподілу.
Греки були митецькими геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора й діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.

Рис. 7. Динамічні прямокутники

Платон (427...347 рр. до н.е.) також знав про золотий розподіл. Його діалог "Тимейимей, Тиме" присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора й, зокрема , питанням золотого розподілу.
У фасаді давньогрецького храму Парфенона присутні золоті пропорції. При його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори й скульптори античного миру. У Помпейскому циркулі (музей у Неаполі) також закладені пропорції золотого розподілу.

Рис. 8. Античний циркуль золотого перетину

        В античній літературі золотий розподіл уперше   згадується в "Початках" Евкліда. В 2- й книзі "Почав" дається геометрична побудова золотого розподілу Після

Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гипсикл (II в. до н.е.), Папп (III в. н.е.) і ін. У середньовічній Європі із золотим розподілом познайомилися по арабських перекладах "Почав" Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III в.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися в строгій таємниці. Вони були відомі тільки присвяченим.
В епоху Відродження підсилюється інтерес до золотого розподілу серед учених і художників у зв´ язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі Леонардо ДА Вінчі, художник і вчений, бачив, що в італійських художників емпіричний досвід великий, а знань мало. Він задумав і початків писати книгу по геометрії, але в цей час з´ явилася книга ченця Луки Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників і істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі й Галилеем. Лука Пачолі був учнем художника Пьеро делла Франчески, що написав дві книги, одна з яких називалася "ПРО перспективу в живописі". Його вважають творцем нарисної геометрії.

Лука Пачолі прекрасно розумів значення науки для мистецтва. В 1496 г за запрошенням герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції по математиці. У Мілані при дворі Моро в той час працював і Леонардо Да Вінчі. В 1509 г. у Венеції була видана книга Луки Пачолі "Божественна пропорція" із блискуче виконаними ілюстраціями, через що починають, що їх зробив Леонардо Да Вінчі. Книга була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох гідностей золотої пропорції чернець Лука Пачолі не проминув назвати і її "божественну суть" як вираження божественної триєдності бог син, бог батько й бог дух святої (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок – бога батька, а весь відрізок – бога духу святого).
Леонардо Да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого розподілу. Він робив перетини стереометричного тіла, утвореного правильними п´ ятикутниками, і щораз одержував прямокутники з відносинами сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому розподілу назва золота перетин. Так воно й тримається дотепер як саме популярне.

У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими ж проблемами трудився Альбрехт Дюрер. Він робить начерки введення до першого варіанта трактату про пропорції. Дюрер пише. "Необхідно, щоб той, хто що-небудь уміє, навчив цьому інших, які в цьому бідують. Це я й намірився зробити".
Судячи з одному з листів Дюрера, він зустрічався з Лукою Пачоли під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перетину. Ріст людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, а також лінією, проведеної через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина особи – ротом і т.д. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.
Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвав золотий перетин одним зі скарбів геометрії. Він перший звертає увагу на значення золотої пропорції для ботаніки (ріст рослин і їх будова).

Кеплер називав золоту пропорцію, що продовжує саму себе "Улаштована вона так, – писав він, – що два молодші члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається нескінченно ".

Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як убік збільшення (зростаючий ряд), так і убік зменшення (спадний ряд).
Якщо на прямої довільної довжини, відкласти відрізок m, поруч відкладаємо відрізок M. На підставі цих двох відрізків вишиковуємо шкалу відрізків золотої пропорції висхідного й спадного рядів

                     Рис. 9. Побудова шкали відрізків золотої пропорції

У наступні століття правило золотий пропорції перетворилося в академічний канон і, коли згодом у мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, у запалі боротьби "разом з водою виплеснули й дитину". Знову "відкрите" золотий перетин був у середині XIX в. В 1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Цейзінг опублікувала своя праця "Естетичні дослідження". ІЗ Цейзінгом відбулося саме те, що й повинне було неминуче відбутися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв´ язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальної для всіх явищ природи й мистецтва. У Цейзінга були численні послідовники, але були й супротивники, які оголосили його вчення про пропорції "математичною естетикою".

Рис. 10. Золоті пропорції в частинах тіла людину

        Рис. 11. Золоті пропорції у фігурі людини

Цейзінг проробив колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що золотий перетин виражає середній статистичний закон. Розподіл тіла крапкою пупа – найважливіший показник золотого перетину. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13:8 = 1,625 і трохи ближче підходять уводити, увести до ладу золотому перетину, чому пропорції жіночого тіла, у відношенні якого середнє значення пропорції виражається в співвідношенні 8:5 = 1,6. У немовляти пропорція становить відношення 1:1 , до 13 років вона рівна 1,6, а до 21 року рівняється чоловічий. Пропорції золотого перетину проявляються й у відношенні інших частин тіла – довжина плеча, передпліччя й кисті, кисті й пальців і т.д.

Справедливість своєї теорії Цейзінг перевіряв на грецьких статуях. Найбільше докладно він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Піддалися дослідженню грецькі вази, архітектурні спорудження різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзінг дав визначення золотому перетину, показав, як воно виражається у відрізках прямої й у цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзінг побачив, що вони становлять ряд Фібоначчи, який можна продовжувати нескінченно в одну й в іншу сторону. Наступна його книга мала назву "Золотий розподіл як основний морфологічний закон у природі й мистецтві". В 1876 г. у Росії була видана невелика книжка, майже брошура, з викладом цієї праці Цейзинга. Автор укрився під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згаданий жодне добуток живопису.
НАПРИКІНЦІ XIX – початку XX ст. з´ явилося чимало чисто формалістичних теорії про застосування золотого перетину у творах мистецтва й архітектури. З розвитком дизайну й технічної естетики чинність закону золотого перетину поширилася на конструювання машин, меблів і т.д.
Ряд Фібоначчи

З історією золотого перетину непрямим образом зв´ язане ім´ я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, більш відомого під іменем Фібоначчи (син Боначчи). Він багато подорожував по Сході, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. В 1202 г вийшов у світ його математична праця "Книга про абак" (рахунковій дошці), у якім були зібрані всі відомі на той час завдання. Одна із завдань говорила "Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться".

Міркуючи на цю тему, Фибоначчи вибудував такий ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчи. Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожний її член, починаючи із третього, дорівнює сумі двох попередні 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого розподілу. Так, 21:34 = 0,617, а 34:55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення – 0,618 : 0,382 – дає безперервний розподіл відрізка прямій у золотої пропорції, збільшення його або зменшення нескінченно , коли менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього.

Фібоначчи так само займався рішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якої найменшої кількості гир можна зважити товар? Фібоначчи доводить, що оптимальної є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16...

              Узагальнений золотий перетин

Ряд Фібоначчи міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого розподілу в рослинному й у тваринному світі, не говорячи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичному вираженню закону золотого розподілу.
Учені продовжували активно розбудовувати теорію чисел Фібоначчи й золотого перетину. Ю. Матиясевіч із використанням чисел Фібоначчи вирішує 10- ю проблему Гілберта. Виникають витончені методи рішення ряду кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчи й золотого перетину. У США створюється навіть Математична Фібоначчи- Асоціація, яка з 1963 року випускає спеціальний журнал.
Одним з досягнень у цій області є відкриття узагальнених чисел Фібоначчи й узагальнених золотих перетинів.
Ряд Фібоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий їм же "двійковий" ряд гир 1, 2, 4, 8, 16... на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови досить схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сума попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., у другому – це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... чи неможна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і "двійковий" ряд, і ряд Фібоначчи? А може бути, ця формула дасть нам нові числові безлічі, що володіють якимись новими унікальними властивостями?
Дійсно, задамося числовим параметром S, який може ухвалювати будь-які значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого – одиниці, а кожний з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього й віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n- й член цього ряду ми позначимо через ?S (n), то одержимо загальну формулу ?S (n) = ?S (n – 1) + ?S (n – S – 1).
Очевидно, що при S = 0 із цієї формули ми одержимо "двійковий" ряд, при S = 1 – ряд Фібоначчи, при S = 2, 3, 4. нові ряди чисел, які одержали назву S- Чисел Фібоначчи.
У загальному виді золота S- Пропорція є позитивний корінь рівняння золотого S- Перетину xs+1 – xs – 1 = 0.
Неважко показати, що при S = 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S = 1 – знайомий класичний золотий перетин.
Відносини сусідніх S- Чисел Фібоначчи з абсолютною математичною точністю збігаються в межі із золотими S- Пропорціями! Математики в таких випадках говорять, що золоті S- Перетини є числовими інваріантами S- Чисел Фібоначчи.

Факти, що підтверджують існування золотих S- Перетинів у природі, приводить білоруський учений Є.М. Сороко в книзі "Структурна гармонія систем" (Мінськ, "Наука й техніка", 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво вираженими функціональними властивостями (стійкі в термічнім відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окиснення й т. п) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів зв´ язано один з одним однією із золотих S- Пропорцій. Це дозволило автору висунути гіпотезу про те, що золотий S- Перетин є числовий інваріант систем, що Будуть підтверджені експериментально, ця гіпотеза мала фундаментальне значення для розвитку синергетики – нова галузь науки, що вивчала процес и у само організаційних системах.

За допомогою кодів золотий S- пропорції можна виразити будь-яке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S- пропорцій із цілими коефіцієнтами.
Принципова відмінність такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що представляють собою золоті S- Пропорції, при S > 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами як би ставлять "з голови на ноги" історично складену ієрархію відносин між числами раціональними й ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були "відкриті" числа натуральні; потім їх відносини – числа раціональні. І лише пізніше – після відкриття піфагорійцями непорівнянних відрізків – на світло з´ явилися ірраціональні числа. Скажемо, у десятковій, п’ятерічної, двійкової й інших класичних позиційних системах числення як своєрідної першооснови були обрані натуральні числа – 10, 5, 2, – з яких уже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні й ірраціональні числа.
Свого роду альтернативою існуючим способам числення виступає нова, ірраціональна система, у якості першооснови, початку числення якої обрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перетину); через нього вже виражаються інші дійсні числа.

У такій системі числення будь-яке натуральне число завжди представимо у вигляді кінцевої – а не нескінченної, як думали раніше! – суми ступенів кожної із золотих S- Пропорцій. Це одна із причин, чому "ірраціональна" арифметика, володіючи дивною математичною простотою й добірністю, як би увібрала в себе кращі якості класичної двійкової й "Фібоначчиєвої" арифметик.

                 Принципи формоутворення в природі

Усе, що здобувало якусь форму, утворювалося, росло, прагнуло зайняти місце в просторі й зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення в основному у двох варіантах – ріст нагору або розстеляння по поверхні землі й закручування по спіралі.

Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що небагато уступає довжині змії. Невелика десяти сантиметрова раковина має спіраль довжиною 35 див. Спирали дуже поширені в природі. Вистава про золотий перетин буде неповним, якщо не сказати про спіраль.

                                                 Рис. 12. Спіраль Архімеда

Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її й вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслена по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. У цей час спіраль Архімеда широко застосовується в техніку.
Ще Ґете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Гвинтоподібне й спіральне розташування листів на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшника, у шишках сосни, ананасах, кактусах і т.д. Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивні явища природи. З´ ясувалося, що в розташуванні листів на гілці (філотаксис), насіння соняшника, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчи, а стало бути, проявляє себе закон золотого перетину. Павук плете павутину спіралєобразно. Спіраллю закручується ураган. Перелякана череда північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Ґете називав спіраль "кривого життя".
Серед пришляхових трав росте нічим не примітна рослина – цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворювався відросток. Відразу розташувався перший листок.

                                                             Рис. 13. Цикорій

Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротше першого, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру й знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, то другий рівний 62 одиницям, третій – 38, четвертий – 24 і т.д. Довжина пелюстків теж підлегла золотої пропорції. У росту, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його росту поступово зменшувалися в пропорції золотого перетину.

                                                       Рис. 14. Ящірка живородна

У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції – довжина її хвоста так ставиться до довжини іншого тіла, як 62 до 38.
І в рослинному, і у тваринному світі наполегливо пробивається формотворна тенденція природи – симетрія щодо напрямку росту й руху. Тут золотий перетин проявляється в пропорціях частин перпендикулярно до напрямку росту.
Природа здійснила розподіл на симетричні частини й золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.


Рис. 15. Яйце птаха

Великий Ґете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, утвір і перетворенні органічних тел. Це він увів у науковий побут термін морфологія.

П’ер Кюрі на початку нашого сторіччя сформулював ряд глибоких ідей симетрії. Він затверджував, що не можна розглядати симетрію якого-небудь тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища.

Закономірності "золотий" симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних часток, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних і космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є в будові окремих органів людини й тіла в цілому, а також проявляються в біоритмах і функціонуванні головного мозку й зорового сприйняття.

                             Золотий перетин і симетрія

Золотий перетин не можна розглядати саме по собі, окремо, без зв´ язку із симетрією. Великий росіянин кристалограф Г.В. Вульф (1863...1925) уважав золотий перетин одним із проявів симетрії.

Золотий розподіл не є прояв асиметрії, чогось протилежного симетрії Згідно із сучасними виставами золотий розподіл – це асиметрична симетрія. У науку про симетрію ввійшли такі поняття, як статична й динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна – рух, ріст. Так, у природі статична симетрія представлена будовою кристалів, а в мистецтві характеризує спокій, рівновагу й нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона – свідчення життя. Статичної симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічної симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається у величинах золотого перетину зростаючого або убутного ряду.

Джерела інформації:

1. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.
2. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982.
3. Дюрер А. Дневники, письма, трактаты – Л., М., 1957.
4. Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София, 1983.
5. Стахов А. Коды золотой пропорции.

Неокуб (Neocube) – магнитный конструктор-головоломка

Angelina — Thu, 21 Oct 2010 19:27:01 GMT

Неокуб (Neocube) – магнитный конструктор-головоломка

Neocube состоит из 216-ти сферических, довольно сильных магнитов,
которые можно сложить в любую фигуру или узор, начиная от классических
форм вроде куба, пирамиды, шара и т.д., заканчивая разнообразными
узорами, которые Вы сами придумаете.

Благодаря своим свойствам, Неокуб позволяет собирать различные
фигуры как в двухмерной, так и в трехмерной плоскости.
Уникальность Neocube состоит в огромном количестве решений, каждый раз
Вы будете создавать все новые и новые формы, у которых еще нет названия,
так как Вы будете первым человеком, кто это создал.
Головоломка Неокуб – развивает пространственное и творческое мышление,
память, креативность. Он отлично подходит для снятия эмоционального
напряжения. Каждый, кто держал в руках эти маленькие шары, не хотел с
ними больше расставаться.
Габариты Неокуба позволяют держать его всегда под рукой.

Видио смотреть...

Геометрические размеры Египетских Пирамид. Золотое сечение и пропорции человеческого тела.

Angelina — Sun, 17 Oct 2010 16:45:43 GMT

Семиугольная геометрическая сеть линий является универсальной фигурой,
которая в течении развития человеческой цивилизации использовалась для измерения
пропорциональных соотношений и создания объектов окружающего мира, в которых
люди стремились зафиксировать принципы гармонии. Либо можно сказать, что люди
стремились в созданных объектах человеческой культуры зашифровать знания об
окружающем мире, для чего использовали пропорциональные соотношения
семиугольника, который является наиболее значимой фигурой выражающей
пропорциональные соотношения сопоставимые с пропорциями человеческого тела.

В числе многих объектов мира наиболее значительным памятником
человеческих знаний являются Египетские Пирамиды, и в частности пирамида Хеопса.

Я не могу привести подробный анализ всех Египетских Пирамид, и поэтому
привожу описание только пирамиды Хеопса, поскольку эта пирамида наиболее
знаменательная. Но всё же анализ геометрических пропорций остальных Египетских
Пирамид может быть сделан в сравнении с пирамидой Хеопса.
Согласно разным источникам основными размерами пирамиды Хеопса являются: длина
стороны основания 500 локтей, высота 318 локтей, угол наклона боковых граней 51
градус 50 минут.

Египетский локоть приблизительно равен 466 миллиметров, что приблизительно
равно длине от локтя до основания пальцев, если рост человека составляет 176
сантиметров и эквивалентен "русской сажени".

Согласно перечисленным размерам главные пропорции пирамиды Хеопса заключаются в
соотношениях линий треугольника, который образован высотой ОР, половиной длины
основания PR и апофемой (длиной боковой грани) OR, что показано на рисунке:

В соотношениях линий OR/PR зашифрована величина золотого сечения, а в соотношениях линий PR/PO зашифровано число «пи».
Угол PRO с вершиной в точке R является углом наклона боковых граней, а угол PSO с вершиной в точке S является углом наклона диагональных ребер.
Угол наклона боковых граней и угол наклона диагональных рёбер пирамиды имеют разную величину.
Угол PRO и угол PSO являются основными параметрами, которые позволяют сопоставить пропорции пирамиды с пропорциями семиугольника.

На рисунке треугольник АЕК является приблизительным силуэтом боковых граней пирамиды Хеопса.
Показанный силуэт боковых граней является приблизительным, поскольку угол семиугольника ЕКА с вершиной в точке К имеет величину 360/7=51,429 градусов (51 градус 25,71 минут), а угол наклона граней пирамиды имеет величину 51 градус 50 минут.
Существующую разницу строители компенсировали добавлением к высоте треугольника АЕК величины человеческого роста АХ. То есть строители пирамиды Хеопса поместили в вершине треугольника и условно поместили на вершине пирамиды фигуру человека, и в результате получили угол ЕКХ с вершиной в точке К равный 51 градус 50 минут.
А именно если высота треугольника ЕКХ 318 локтей, то высота треугольника ЕКА приблизительно 314 локтей, а высота человеческого роста приблизительно 4 локтя.
Строители пирамиды Хеопса увеличили правильный угол семиугольника, будто бы на вершине пирамиды находится человек, и в результате в соотношениях линий ЕК/КХ было зашифровано число золотого сечения, а в пропорциях пирамиды были заложены пропорции человеческого тела, что было проектом будущей пирамиды.
По существу строители пирамиды Хеопса вписали семиугольную сеть линий в живую окружность, в которой величина вертикального диаметра отличалась от величины горизонтального диаметра относительной величиной человеческого роста, что показано на следующем рисунке:

На рисунке бигептагональная сеть линий вписана в рамках живой окружности, которая имеет соотношение вертикального и горизонтального диаметров приблизительно 15 /14, что соответствует соотношениям пропорций мужского и женского тела.
О точных соотношениях диаметров живой окружности в геометрическом чертеже и в проекте пирамиды Хеопса не могу сказать ничего определённого, поскольку для этого необходимы более точные вычисления.
Можно предположить, что соотношения диаметров живой окружности в геометрическом чертеже пирамиды Хеопса получаются в результате трансформации живой окружности, когда величина отрезка ТА точно равна величине линий CE или DF.
Синий контур на рисунке указывает приблизительный силуэт боковых граней пирамиды, а белый контур указывает приблизительный силуэт диагональных рёбер.
Угол DLA с вершиной в точке L является углом наклона диагональных рёбер пирамиды Хеопса, действительная величина которого 40 градусов 59 минут.
Величина угла DLA и величина угла ЕКА с вершиной в точке К (угол наклона боковых граней) отличаются от угловых величин правильного бигептагона относительной величиной человеческого роста, согласно которой трансформирована живая окружность
Показанные геометрические чертежи являются приблизительными, поскольку для точных геометрических вычислений необходимо множество чисел и формул, что нецелесообразно в контексте галереи фантомных изображений, но согласно показанным чертежам можно делать точные геометрические вычисления, если это необходимо.
Приведённые чертежи позволяют понять основные пропорции Египетских Пирамид, но кроме этого в геометрических мерах пирамид зашифровано множество других пропорций, согласно которым устроен окружающий мир.
Можно говорить о том, что в величинах Египетских Пирамид зафиксированы меры измерений, которые позволяют понимать структуру окружающего мира, и позволяют применять "Великие Египетские Меры" для проектирования окружающего пространства и организации созданных человеком объектов мира.
Основной мерой измерения в древнем Египте был локоть, который состоял из семи ладоней, а каждая ладонь подразделялась на четыре пальца. Итого локоть состоял из 28 пальцев, что соответствовало 28 дням лунного месяца.
Обратите внимание, что бигептагональная сеть линий имеет 14 вершин, а квадрагептагональная сеть линий имеет 28 вершин, что также равно числу дней лунного месяца.
В современной египтологии известны разные параметры египетского локтя:
- простой египетский локоть = 6 ладоней = 24 пальца = 450 миллиметров;
- королевский египетский локоть = 7 ладоней = 28 пальцев = 525 миллиметров.
Но всё же величина 466 миллиметров является наиболее достоверной, поскольку это антропометрическая величина человеческого локтя.

На фотографии показана деревянная панель, где изображён землемер с тростью в руке, а именно показана одна из 11 деревянных резных досок, которые были найдены в гробнице Хеси-Ра, который считается архитектором Пирамид.
Найденные доски имеют изображения на обеих сторонах, что в сумме сопоставимо с 22 арканами карт Таро.
Фотография сканирована из книги Шмелёва И.П. "Третья Сигнальная Система", а также гипотеза о сопоставлении 22 арканов Таро с деревянными досками из гробницы Хеси-Ра принадлежит Шмелёву.
Трость в руке землемера равна длине от середины тела до линии бровей, что составляет два локтя.
Если спроецировать данную трость на бигептагональную сеть линий, то трость равна отрезку АТ, а также приблизительно равна длине стороны семиугольника, что показано на предыдущем рисунке.
А именно трость равна отрезкам CE, DF, LJ, MK.
Следовательно, древнеегипетский локоть равен длине стороны бигептагона (расстоянию между двух ближних вершин), а любые другие меры измерений являются производными из бигептагональной геометрической сети, в которой вписана фигура человеческого тела, что позволяет делать утверждение о соотношениях размеров Египетских Пирамид с пропорциями человеческого тела. Но при условии, что бигептагональная сеть линий вписана в живую окружность, которая образует "эллипс с фокусным расстоянием пропорциональным человеческому росту сопоставленному с высотой пирамиды". Иначе можно сказать, что разница диаметров (разница большой и малой осей эллипса) соответствует отношению человеческого роста к высоте Пирамиды Хеопса. При помощи трости строители вычислили стороны пирамид, причём в проекте пирамиды Хефрена был зафиксирован "священный египетский треугольник" с отношением сторон 3:4:5, который иначе называют "священный пифагорейский треугольник", а в проекте пирамиды Хеопса были зафиксированы пропорции человеческого тела. То есть пирамида Хефрена и пирамида Хеопса имеют разные размеры, но обе пирамиды вычислены согласно одной трости. По-видимому разные пирамиды были вычислены в результате разных трансформаций линий бигептагональной геометрической сети.