Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) —
нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає
фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї
самої. Термін фрактал було введено в 1975 році Бенуа Мандельбротом.

• 1 Історія
• 2 Приклади
  
  • 2.1 Фрактальна розмірність межі кривої Коха
  • 2.2 Генерування фракталів
  • 2.3 Класифікація фракталів
  • 2.4 Фрактали в природі
  
  
• 3 Застосування
  
  • 3.1 Генерація зображень природних об'єктів
  • 3.2 Механіка рідин
  • 3.3 Біологія
  • 3.4 Фрактальні антени
  • 3.5 Стиснення зображень
  • 3.6 Децентралізовані мережі
  
  
• 4 Дивіться також
• 5 Джерела інформації
  
  • 5.1 Література
  
  
• 6 Зовнішні посилання
  

  Історія

  Об'єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго до того, як їм було дано таку назву. В етноматематиці, наприклад в роботах Рона Еглаша «Африканські Фрактали», (ISBN 0-8135-2613-2) задокументовано поширені фрактальні геометричні фігури в мистецтві тубільців. В 1525 році німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю Керівництво Художника, один із розділів якої має назву «Черепичні шаблони, утворені пентагонами». Пентагон Дюрера багато в чому є схожим на килим Серпінського, але замість квадратів використовуються п'ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об'єкти, дуже схожі на фрактали.

  Ідею «рекурсивної самоподібності» було висунено філософом Лейбніцом, який також розробив багато з деталей цієї ідеї. В 1872 Карл Веєрштрас побудував приклад функції з неінтуітивною особливістю, скрізь неперервної, але ніде недиференційовної — графік цієї функції тепер би називався фракталом. В 1904 Хельга Фон Кох,
  незадоволений занадто абстрактним та аналітичним означенням Веєрштраса,
  розробив більш геометричне означення схожої функції, яка тепер має
  назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих було далі розвинено Полєм П'єром Леві, який у своїй роботі Криві та поверхні на площині та у просторі, які складаються із частин, схожих на ціле, виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер як Крива Леві.

  Ґеорг Кантор навів приклади підмножин дійсних чисел із незвичними властивостями — ці множини Кантора тепер також визнаються як фрактали. Ітераційні функції на комплексній площині досліджувались в кінці 19 та на початку 20 століття Анрі Пуанкаре, Феліксом Кляйном, П'єром Фату та Ґастоном Жюліа. Проте за браком сучасної комп'ютерної графіки у них забракло засобів відобразити красу багатьох із відкритих ними об'єктів.

  В 1960-их роках, Бенуа Мандельброт почав дослідження самоподібності в своїх роботах, наприклад Яка довжина узбережжя Британії? Статистична самоподібність та дробова розмірність. Ця доповідь базувалась на ранніх роботах Луі Фрая Річардсона. В 1975 році Мандельброт використав слово фрактал як назву для об'єктів, розмірність Хаусдорфа яких є більшою за топологічну розмірність. Він проілюстрував своє математичне означення
  захоплюючими зображеннями, зробленими за допомогою комп'ютера. Ці
  зображення привернули велику увагу; багато з них базувалися на рекурсії,
  що призвело до появи поширеного розуміння слова фрактал.

  Приклади
  

  Порівняно простий клас прикладів становлять множини Кантора, в яких короткі та ще коротші (відкриті) інтервали вилучаються з одиничного інтервалу
  [0; 1], залишаючи множину, яка, можливо, буде (або не буде)
  самоподібною при збільшенні й, можливо, матиме (або не матиме)
  розмірність Хаусдорфа d таку, що 0 < d < 1. Простий приклад, такий як вилучення цифри 7 із десяткового подання, є самоподібним при 10-разовому збільшенні,
  має розмірність Хаусдорфа log 9/log 10 та показує зв'язок між двома
  концепціями. Для порівняння: топологічна розмірність довільної множини
  Кантора дорівнює 0, й тому всі множини Кантора є фракталами.

  Також до прикладів фракталів належить фрактал Ляпунова, трикутник Серпінського, килим Серпінського, губка Менгера, крива дракона, крива заповнення простору, межі множин груп Кліні та крива Коха. Фрактали можуть бути детермінованими або стохастичними (наприклад, недетермінованими).

  Хаотичні динамічні системи іноді асоціюються з фракталами (дивіться атрактор). Об'єкти в просторі параметрів родини систем також можуть бути фракталами. Цікавим прикладом є множина Мандельброта.
  Ця множина містить цілі диски, тому її розмірність Хаусдорфа дорівнює
  топологічній розмірності, яка дорівнює 2, і вона формально не є
  фракталом — але що насправді є дивним, це те, що розмірність Хаусдорфа межі множини Мандельброта також дорівнює 2 (а топологічна розмірність дорівнює 1). Це було доведено М. Шішікурою 1991 року.
  

  Фрактальна розмірність межі кривої Коха

  Наведений нижче аналіз Сніжинки Коха є прикладом того, як
  самоподібність може використовуватись для аналізу властивостей фракталу.

  Загальна довжина N малих сходинок L дорівнює добуткові NL. При застосуванні до сніжинки Коха отримуємо невизначене число, коли L
  прямує до 0. Але таке означення не є задовільним, оскільки різні криві
  Коха мають різні розміри. Вихід полягає в тому, щоб вимірювати ані в
  метрах (m), ані в квадратних метрах (m²), але в деякому іншому ступені метра, m^x. Тепер 4N(L/3)^x = NL^x, оскільки втричі коротший відрізок потребує в 4 рази більше відрізків, як це видно з малюнку. Єдиним розв'язком цього рівняння є x = (log 4)/(log 3) ≈ 1.26186. Тому, одиниця вимірювання довжини межі сніжинки Коха дорівнює приблизно m^1.26186.
  

  Генерування фракталів
  

  Три поширені методи генерування фракталів:

  
  

  • Ітераційні функції — будуються відповідно до фіксованого правила геометричних заміщень. Множина Кантора, килим Серпінського, трикутник Серпінського, крива Пєано, крива Коха, крива дракона, Т-Квадрат та губка Менгера є прикладами таких фракталів.
  • Рекурентні відношення — Фрактали, що визначаються рекурентним відношенням в кожній точці простору (такому як площина комплексних чисел). Прикладами фракталів цього типу є множина Мандельброта, палаючий корабель та фрактал Ляпунова.
  • Випадкові процеси — Фрактали, що генеруються з використанням стохастичних, а не детермінованих процесів, наприклад: фрактальні ландшафти, траєкторія Леві та броунівське дерево. Останній утворює так звані кластери дифузійних концентратів (en:diffusion-limited aggregation) та реакційних концентратів (en:reaction-limited aggregation).
    

    Класифікація фракталів
    

    Фрактали також можна класифікувати відповідно до їхньої самоподібності. Розрізняють три типи самоподібності у фракталах:

  
  

  • Точна самоподібність — Це найсильніший тип самоподібності; фрактал
    виглядає однаково при різних збільшеннях. У фракталів, згенерованих з
    використанням ітераційних функцій, часто виявляється точна
    самоподібність.
  • Майже самоподібність — Слабка форма самоподібності; фрактал виглядає
    приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях. Майже
    самоподібні фрактали містять малі копії цілого фракталу у перекручених
    та вироджених формах. Фрактали, згенеровані з використанням рекурентних
    відношень, зазвичай є майже (але не точно) самоподібними.
  • Статистична самоподібність — Це найслабкіша форма самоподібності;
    фрактал має чисельні або статистичні міри, що зберігаються при
    збільшенні. Найприйнятніші означення «фракталів» просто містять в собі
    деякий вид статистичної самоподібності (розмірність фракталу, саме по
    собі, є чисельною мірою, що зберігається при збільшенні). Ймовірнісні
    фрактали є прикладами фракталів, які є статистично, але не майже й не
    точно самоподібними.

  Слід зазначити, що не всі самоподібні об'єкти є фракталами; наприклад, числова вісь
  (евклідова пряма) є точно самоподібною, але, оскільки її розмірність
  Гаусдорфа та топологічна розмірність дорівнюють одиниці, вона не є
  фракталом.
  

  Фрактали в природі
  

  Приблизні фрактали можна легко знайти в природі. Ці об'єкти мають
  самоподібну структуру при великих, але обмежених діапазонах збільшень.
  Як приклади можна назвати хмари, сніжинки, гори, мережі річок, та системи кровоносних судин.

  
  

  Дерева та папороті є фрактальними за своєю природою та можуть моделюватись на комп'ютерах із використанням рекурсивних алгоритмів. Таку рекурсивність ясно видно на таких прикладах: гілка дерева або фронд від папороті є мініатюрним відтворенням цілого; не ідентичне, але схоже за природою.

  Поверхня гір може моделюватись на комп'ютері з використанням
  фракталів: починати з трикутника в тривимірному просторі та з'єднати
  центральні точки кожного ребра відрізками, отримуючи 4 трикутники.
  Центральні точки потім зсовуються догори або донизу на випадкову
  відстань у фіксованому діапазоні. Процедура повторюється зі зменшенням
  діапазону на кожній ітерації вдвічі. Рекурсивна природа алгоритму
  гарантує, що ціле є статистично подібним до кожної з деталей.
  

  Застосування
  

  Генерація зображень природних об'єктів

  
  

  
  

  

  
  Фрактал, який моделює поверхню гори (анімація).

  
  

  Геометричні фрактали застосовуються для отримання зображень дерев,
  кущів, берегових ліній тощо. Алгебричні та стохастичні — для побудови
  ландшафтів, поверхні морів, моделей біологічних та інших об'єктів.
  

  Механіка рідин

  Фракталами добре описуються такі процеси та явища, що стосуються механіки рідин і газів:

• динаміка та турбулентність складних потоків;
• моделювання полум'я;
• пористі матеріали, у тому числі в нафтохімії.
  

  Біологія

• Моделювання популяцій;
• біосенсорні взаємодії;
• процеси всередині організму, наприклад, биття серця.
  

  Фрактальні антени

  Фрактальну геометрію для проектування антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де було заборонено встановлювати зовнішні антени на будинках. Натан вирізав з алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха та наклеїв її на аркуш паперу, а потім приєднав до приймача. Виявилось, що така антена
  працює не гірше за звичайну. Й хоча фізичні принципи роботи такої
  антени не вивчено досі, це не завадило Коену заснувати власну компанію й
  налагодити їхній серійний випуск.
  

  Стиснення зображень

  За допомогою фракталів можна стискати великі растрові зображення до
  частин їхніх нормальних розмірів. Це твердження випливає з теореми
  Банаха про стискуючі перетворення й є результатом роботи дослідника
  Технологічного інституту шт. Джорджія Майкла Барнслі.

  Коротко метод можна описати таким чином. Зображення кодується кількома простими перетвореннями (в нашому випадкові афінними), тобто визначається коефіцієнтами цих перетворень (в нашому випадкові: A, B, C, D, E та F).

  Наприклад, закодувавши якесь зображення
  двома афінними перетвореннями, ми однозначно визначаємо його за
  допомогою 12 коефіцієнтів. Якщо тепер задати яку-небудь початкову точку
  (наприклад, X = 0, Y = 0) та запустити ітераційний процес, то ми після
  першої ітерації отримаємо дві точки, після другої — чотири, після
  третьої — вісім і т. д. Через кілька десятків ітерацій сукупність
  отриманих точок описуватиме закодоване зображення. Але проблема полягає в
  тому, що дуже важко знайти коефіцієнти перетворень, які кодували б
  довільне зображення.

  Не зважаючи на те, що було створено програмне забезпечення, що реалізує ці алгоритми (наприклад, бібліотеки фрактального стиснення використовуються в Microsoft Encarta), досить ефективного методу не було знайдено досі, а сам Майкл Барнслі продовжує працювати в даному напрямкові.
  

  Децентралізовані мережі

  Система призначення IP-адрес в мережі Netsukuku
  використовує принцип фрактального стиснення інформації для компактного
  зберігання інформації про вузли мережі. Кожен вузол мережі Netsukuku
  тримає лише 4 Кб інформації про стан сусідніх вузлів, при цьому
  будь-який новий вузол під'єднується до загальної мережі без необхідності
  в центральному регулюванні роздавання IP-адрес, що, наприклад, є
  характерним для мережі Інтернет.
  Таким чином, принцип фрактального стиснення гарантує повністю
  децентралізовану, а отже, максимально стійку роботу всієї мережі.
  

  Література

• Бенуа Мандельброт Фрактальна геометрія природи.
• А. Морозов Введение в теорию фракталов.
• Пайтген Х.О. Рихтер П.Х. Красота фракталов.
• Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах.
• Божокин С.В. Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы.
• K.I. Falconez Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
• Федер Е. Фракталы, 1991. — С. 254, МИР. ISBN 5-03-001712-7.
• Ландэ Д.В. Фракталы и кластеры в информационном пространстве // Корпоративные системы 6'2005. - С. 35-39
• В.Т. Гринченко, В.Т. Маципура, А.А. Снарский Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы, 2007. — С. 264, Изд.ЛКИ. ISBN 978-5-382-00063-3. и Интернет помог
  

  Зовнішні посилання

• Xaos —
  вільна програма-переглядач фракталів для Windows, Mac, Linux;
  підтримується збільшення та анімації в реальному часі, автопілот.
  Ліцензія GNU GPL.
• Dmoz.org: Chaos and Fractals — категорія, присвячена хаосу та фракталам.
• Dmoz.org: Chaos and Fractals: Software — перелік програмного забезпечення для роботи з фракталами.
• Сайт "Хаос. Неленійна динаміка". — Розділ "Фрактали".
• IFS Illusions